大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一 ”。大约在公元十三 、十四世纪 ，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样
，从“一一如一
”起到“九九八十一”止 。现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的 ，通常称为“小九九 ”；还有一种是81句的
，通常称为“大九九
”。

三
、莫比乌斯环

莫比乌斯环是一种拓扑学结构，它只有一个面和一个边界
。可以用一根纸条扭转成180度后 ，两头再粘接起来
，就形成了莫比乌斯环。

莫比乌斯环沿着中线剪开，第一次 ，可以得到一个更大的环；第二次及以后，每次都会得到两个互相嵌套的环 。中间永远不会断开
，这也是莫比乌斯环的神奇之处
。

1.数学是研究数量、结构 、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数
、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生 。数学家们拓展这些概念 ，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理
。

2.数学属性是任何事物的可量度属性
，即数学属性是事物最基本的属性。可量度属性的存在与参数无关，但其结果却取决于参数的选择 。例如：时间 ，不管用年 、月
、日还是用时、分 、秒来量度；空间
，不管用米、微米还是用英寸
、光年来量度，它们的可量度属性永远存在 ，但结果的准确性与这些参照系数有关
。

3.数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说
，是研究数和形的科学 。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始