● 这里要提一下这个“2221221 ”的学名
，叫做十二平均律，与其说是科学 ，不如说是一项美学规定。人们刚开始由于不明原因定下了这个不和谐的规定——不少人认为这样规定的频率在数学上没有美感
，因为其实它并不严丝合缝的“平均
”——后，硬是用时间把他唱成和谐的 。证据就是在许多相对隔离的民族文化中 ，也有不这么唱歌的（在我们听起来就是“嗯，虽然不着调吧
，不过挺带感的
。”）。比如我国广东潮州民间音乐就采用七平均律，而外国也有许多自制的平均律比如奥地利人Elsaz的十九平均律（1590年） ，荷兰数学家 、物理学家Huygems的三十一平均律（1661年）
，比利时数学家、地理学家Mercator的五十三平均律（16世纪末） 。[1]

5.3 琴弦的猴子实验

● 我知道以下公式可能你看都不想看，不过没关系 ，下面有更入眼的描述
。

● 以上公式更加友好的表述就是：

1.振动的琴弦长度每缩短一半
，音调的频率就提高一倍。

2.琴弦张力增大的时候，音调变高

3.琴弦越粗 ，音调越低

● 这是“验证该公式的实验 ”的猴子步骤：好奇的目测了一下12品的位置
，确实在有效弦长的正中间；量了一下12品的位置，真的在有效弦长的正中间啊；按住12品拨弄了一下 ，听起来确实高八度啊！

● 后两个表述的验证
，本猴子表示直观上都能想象，但是严谨的古希腊人用单弦琴做了大量的实验 ，固定琴弦材料和弦长，改变琴弦末端配重来研究第二条表述
，用固定配重
、弦长改变琴弦材料的方法来验证第三条表述 。总之他们捣鼓了许多年后，虽然没有得出一个公式 ，但是还是把这项重大成果写意的运用在了单弦琴上
，拨弄着看似简单的猴皮筋为自己带来了无穷的乐趣，这就是艺术与人最单纯的关系
。

5.4 泛音的原理

● 弹奏时 ，我们的每一次拨弦都在琴弦上形成稳定持久的驻波（这也是为什么乐器能稳定发声）
，驻波的构成通常是基频振动（基波